4.1 Teoria preliminar

Una ecuación que contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se llama ecuación diferencial.

Clasificación de las ED: las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar según tres características: tipo, orden y linealidad. Según el tipo una ED puede ser ordinaria (EDO) o parcial (EDP). Una EDO es aquella que sólo contiene derivadas ordinarias (derivadas de una o varias funciones de una sóla variable independiente). Una EDP, en cambio, contiene derivadas parciales (derivadas de una o varias funciones de dos o más variables independientes). El orden de una ecuación diferencial lo determina el orden de la más alta derivada presente en élla.

4.1.1 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Por lo tanto, para estudiar las relaciones complejas, requerimos de varias ecuaciones diferentes para definir diferentes variables. Tal sistema es el sistema de ecuaciones diferenciales. Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales se puede denotar como,

Aquí xi (t) es una variable en términos de tiempo y el valor de i = 1, 2, 3, …, n. También A es una matriz que contiene todos los términos constantes, como [ai,j].

Dado que los coeficientes de la matriz constante A no están definidos explícitamente en términos de tiempo, por lo tanto, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es llamadoa veces autónomo. La notación convencional general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es,

dx/ dt = f(t, x, y)

dy/ dt = g(t, x, y)

El sistema anterior de ecuaciones diferenciales tendrá numerosas funciones para satisfacerla. Mediante la modificación de la variable tiempo obtendremos un conjunto de puntos que se encuentran en el plano de dos dimensiones x-y, los cuales se denominan trayectoria. La velocidad con respecto a esta trayectoria, en algún tiempo t es,

  = (dx/ dt, dy/ dt)

Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales es el siguiente,

dx1/ dt = −4×1 + 2×2

dx2/ dt = 0×1 + −2×2

Con el fin de determinar el conjunto completo de fórmulas para la variable dependiente de tiempo xi(t) para todos los valores de i, es necesario obtener primero los vectores propios y valores propios de la matriz constante A. En el caso que la matriz constante A posea un conjunto de valores propios repetidos para sus componentes, sería necesarioun vector propio generalizado.

Este es t, toma en cuenta que los vectores propios y valores propios de la matriz constante puede ser un subconjunto de los números reales o también un subconjunto de los números complejos.

La representación de la matriz del problema anterior es la siguiente, dx/ dt = A * x

En este caso, A es la matriz constante que puedeserrepresentada como,

A =

Y x(t)T es un vector de variables definidas en términos de tiempo, el cual es representado como,

x(t)T =

dx/ dt =

En caso de que el vector propio de la matriz constante A sea un subconjunto de los números reales para este ejemplo, podemos escribir,

A = S * D * S-1

Aquí D es la matriz diagonal de la matriz de vectores propios de la matriz constante A y S es la matriz que contiene los vectores propios en forma de columnas, en el mismo orden como los valores propios se escriben en la matriz diagonal D.

En consecuencia, la forma de la matriz del ejemplo anterior se puede escribir como,

dx/ dt = A * x

dx1/ dt

dx2/ dt = −4 2

0 −4 * x1

x2

Al igual que en una ecuación diferencial ordinaria, un sistema de ecuaciones diferenciales lineales también pueden formar un problema de valor inicial donde se dan varias condiciones iniciales.

4.1.2 Sistema de ecuacion diferencial homogénea

Sabemos que una ecuación diferencial lineal es de la forma,

Si esta misma ecuación se transforma en la forma,

Obtenemos una ecuación diferencial lineal homogénea. Esta se da cuando lafunción conocida no estápresente en la ecuación diferencial lineal, entonces se le llama una ecuación diferencial homogénea. Y si tenemos una gran cantidad de tales ecuaciones juntas, de manera tal que dependen unas de las otras, y definen colectivamente un problema común, entonces se les llama un sistema de ecuaciones diferenciales linealeshomogéneo.

Tales sistemas pueden ser resueltos de manera eficiente con la ayuda de las matrices, las cuales son denominadas matriz fundamental. Sean X1, X2 … X3 las soluciones de la matriz fundamental del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales homogéneas, entonces puede representarse de manera condensada como,

En la ecuación anterior, las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales están definidas en algún intervalo, digamos I y la solución general del sistema de ecuaciones diferenciales es este

En la ecuación anterior, los términos que se mantienen dentro de los corchetes son los vectores fila, donde X1 = [xi1j], X2 = [xi2j] …Xn = [xinj]. Estas son las soluciones n fundamentales del sistema de entrada de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas para el intervalo dado I.Entonces tenemos que la matriz fundamental para el sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales para el intervalo dado como I es,

Los pasos para resolver un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales son los siguientes:

1. Construye la matriz de coeficientes para las ecuaciones del sistema dado.

2. Determina los valores propios de esta matriz de coeficientes del sistema dado de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas.

3. Ahora, busca el vector propio inicial de este conjunto de valores propios y nómbralo como EV1.

4. Determina la primera ecuación de este vector en términos de constantes k1, k2.

5. Después de esto, determina el siguiente conjunto de valores propios, sus vectores propios correspondientes y su ecuación.

6. Anota la solución general para las ecuaciones en términos de constantes k1, k2.

7. Por último, deriva la solución general para el sistema de ecuaciones.

Aunque el procedimiento para solucionar el sistema de ecuaciones diferenciales lineales homogéneo es bastante fácil, se da un ejemplo ilustrativo que te ayudará a hacer los conceptos más claros.

dx/ dt = 2x + 3y

dy/ dt = 2x + y

Primero, escribamos la matriz constante para el sistema de ecuaciones diferenciales homogéneas dado. Esto es,

La matriz columna de los valores propios construida a partir de esta matriz de coeficientes es la siguiente,

Esto nos da 1 = −1 y 2 = 4. A partir de estos valores propios el vector propio asociado se construye como,

Colocando el valor de 1 = −1 en lugar, el valor exacto deEV1se obtiene como,

El determinante de este se obtiene como,

| EV1 | = 0.

La ecuación asociada de este vector propio es,

3k1 + 3k2 = 0

2k1 + 2k2 = 0

De manera similar, la otra ecuación para el segundo vector propio es,

-2k1 + 3k2 = 0

2k1 - 3k2 = 0

Cuando t = 0, c1 = 1 y c2 = 1.

X1 = e-t K1

Del mismo modo,

Esto nos da la solución general,

4.1.3 Solución general y solución particular de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Solución general de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales y solución particular de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales, es absolutamente esencial conocer los conceptos de valor propio y vector propio. Para una matriz M dada, es llamadolos valores propios, si la condición es verdadera,

Aquí x se llama vector propio de la matriz M.

Es decir, los vectores propios son aquellos vectores que luego de ser multiplicados por la matriz de entrada permanecen proporcionales a la matriz de entrada o resultan cero.

Sea A la matriz que contiene los valores propios, como [ 1, 2, 3 … n]. A continuación se indican los pasos para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales.

1. Calcula las ecuaciones del sistema de ecuaciones diferenciales y construye la matriz que contiene los coeficientes de todas las ecuaciones en el orden en que aparecen en el sistema de entrada de la ecuación.

2. Los valores propios se obtienen de esta matriz que contiene los términos de los coeficientes.

3. Calcula todos los vectores propios de valores propios como los obtenidos en el paso anterior. Nómbralos en la secuencia a medida que son determinados como EV1, EV2, EV3 …EVn.

4. Calcula las ecuaciones correspondientes para cada uno de los conjuntos de valores propios y los vectores propios asociados. Repite este paso para cada par de valores y vectores propios.

5. Obtén la solución particular para un sistema de ecuaciones no homogéneo como,

Aquí X(t) se define como,X(t) = [x1 x2 x3 … xn]

Y en caso de que el sistema de entrada sea una ecuación diferencial homogénea, entonces la solución particular del sistema será dada de la forma,

La ecuación anterior nos da la relación,

En la relación anterior, y son valores propios y vectores propios, respectivamente.

6. Y la solución general para el sistema de ecuaciones diferenciales lineales es dada de la forma,

En general podemos decir que la solución de un sistema de ecuación diferencial es llamada solución general si los valores de las constantes no se obtienen en la solución final. La misma solución puede convertirse en una solución particular cuando tenemos el valor de las constantes determinadas. Esto se hace en el caso que el sistema de entrada de la ecuación diferencial sea un problema de valor inicial con las condiciones iniciales establecidas para la determinación de los términos constantes.

El ejemplo siguiente aclarará el procedimiento para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales lineales.

Determina el conjunto de ecuaciones como xT(t) = [(x1(t), x2(t)] para el sistema de ecuaciones dx/ dt = A * x con las condiciones iniciales establecidas como x(0) = x0 = (x01, x02). El valor de la matriz A estádada como,

La ecuación característica de la matriz de coeficientes arriba es,

f( ) = 2 –trace(A) * + det(A) = 2 + 4 + 4

Y las raíces de esta ecuación nos dan repetidos valores propios de la matriz como, 1 = 2 = −2.

Entonces, el vector propio de la matriz es dado de la forma,

La matriz tiene un solo vector propio ya que ambos valores propios son los mismos. Por lo tanto, la solución general del problema se da como,

Por consiguiente, un vector propio generalizado puede ser calculado como, v = vp +s1* vh1 v1 v2 −1 0 +s1* 1 1

La solución particular de este problema sería vT(p) = (−1, 0) = v2, el cual es el valor propio generalizado de esta matriz, junto con los valores propios repetidos y vh es la solución homogénea dando el vector propiov1.

Y la solución general del problema es,

EstO nos RESULTA,

x1(0) = c1 e0 + c2 (0 – e0) = c1 – c2 = x01

x1(0) = c1 e0 + c2 (0) = c1 = x02

4.2 Métodos de solución para sistemas d ecuaciones diferenciales

Un sistema de diferenciales lineales puede resolver las ecuaciones. Al igual que existen varias técnicas para resolver una ecuación diferencial lineal, también las hay para un sistema de ecuaciones diferenciales lineales. Como el método de eliminación de Gauss, método separable y reducible etc. Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representado como,

Entonces, la representación de la matriz equivalente de este sistema de ecuaciones diferenciales lineales será,

Ahora, la técnica más conveniente para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales lineales es recurrir al método de multiplicación de matrices. La fórmula para resolverlo está dada de la forma,

Aquí A es la matriz que contiene los términos coeficientes de toda la ecuación del sistema, C, que es una matriz columna compuesta de elementos no homogéneos y, finalmente, la matriz X es la que contiene los elementos desconocidos. Cuando la matriz C es igual a cero, entonces el sistema dado es un sistema homogéneo de ecuaciones diferenciales lineales.

Todo el mundo está familiarizado con el hecho de que multiplicar unas cuantas matrices es mucho mejor que solucionar las ecuaciones algebraicas crípticas para cuatro variables desconocidas. Sin embargo, la técnica anterior nos da la solución en todo momento. Por lo tanto, tenemos que adoptar algunas otras técnicas para resolver las ecuaciones.

Dos sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se llaman equivalentes en la situación de que ambos produzcan las mismas soluciones para variables desconocidas. Sin embargo, esto puede lograrse mediante aplicar algunas operaciones elementales como la multiplicación con una constante,la reordenación de las ecuaciones, etc.Sea un sistema de ecuaciones diferenciales lineales dado como,

x + y + z = 0

x – 2y + 2z = 4

x + 2y – z = 2

Las ecuaciones anteriores pueden resolverse mediante aplicar algunas operaciones elementales sobre las dos últimas ecuaciones y manteniendo la primera sin alterar. Esto nos ayudará a eliminar una de las variables y el resto de las ecuaciones pueden resolverse de forma simultánea para dos variables, lo cual es muy fácil de hacer.

x + y + z = 0

x – 2y + 2z = 4

      y – 2z = 2

Ahora resta la dos ecuacionesa partir de la primera como,

x + y + z = 0

   - 3y + z = 4

     y – 2z = 2

Continuando con el procedimiento, multiplicamos la tercera ecuación con tres y lo sumamos a la segunda como

x + y + z = 0

   - 3y + z = 4

           - 5z = 10

Esto nos da el valor de z = −2. Al sustituir este valor en el sistema de ecuaciones podemos eliminar los términos que contienen z y finalmente,las ecuaciones han sidoreducidas a dos variablesúnicas. Los valores de las otras dos variables pueden obtenerse mediante la solución de esas ecuaciones simultáneamente.

Por lo tanto, el valor de x es 4, y el de y es −2.

Otra técnica popular es la transformar la matriz aumentada AC de manera talque se convierta en triangular superior. Una vez más esto puede lograrse mediante realizar las operaciones elementales de transformación en las ecuaciones del sistema. Después que esto se ha hecho, es posible resolver fácilmente el sistemapara las variables desconocidas.

4.2.1 Metodo de solucion de los operadores diferenciales

Un operador es un objeto matem atico que convierte una funci on en otra, por ejemplo, el operador

derivada convierte una funci on en una funci on diferente llamada la funci on derivada. Podemos

de nir el operador derivada

D que al actuar sobre una funci on diferenciable produce la derivada

de esta, esto es:

D

0f(x) = f(x) ; D1f(x) = f0(x) ; D2f(x) = f00(x) ; : : : ;Dnf(x) = f(n)(x) :

Es posible construir la siguiente combinaci on lineal con los operadores diferenciales:

P

(D) = a0 + a1D + a2D2 + + anDn ; an 6= 0 : (1)

donde

a2; a1; a2; : : : an son constantes. A este nuevo objeto lo podemos llamar el Operador Polinomial

de orden

n.

Por otro lado, recordemos que una ecuacion diferencial lineal de orden

n con coe cientes constantes

es una ecuacion de la forma A

ny(n) + an􀀀1y(n􀀀1) + + a2y00 + a1y0 + a0y = Q(x) ; (3)

por lo tanto, (

3) se puede escribir de una manera compacta como

P

(D)y = Q(x) : (4)

El operador polinomial es lineal, esto signi ca que tiene las siguientes propiedades

Si

f1(x) y f2(x) son dos funciones diferenciables de orden n, entones

P
(D) [
f1(x) + f2(x)] =
P(D)f1(x) + P(D)f2(x)

donde

y son constantes. Ademas:

Si

y1(x); y2(x); : : : ; yn(x) son n soluciones de la ecuaci on diferencial homog enea P(D)y = 0

entonces

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + + Cnyn(x) es tambi en una soluci on.

Si

yh(x) es una soluci on de P(D)y = 0 y yp(x) es una soluci on de P(D)y = Q(x) entonces

y
(x) = yh(x) + yp(x) es una soluci on de P(D)y = Q(x).

4.2.2 Utilizando la transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Ejemplo1. Como L-1 {s/(s2 + 16)} = cos 4t. tenemos que
L-1 { 2s/[(2s)2 + 16] } = (1/2) cos4t/2 = (1/2)cos2t

Lo cual puede comprobarse directamente.



Ejemplo 2. Si L-1 e-1/s / s1/2 = cos2(t)1/2 /(TTt)1/2 , hallar L-1 e-a/s / s1/2

donde a > 0.

Al sustituir s por ks en la primera expresión

L-1 e-1/ks / (ks)1/2 = (1/k) [cos2(t/k)1/2] / [TT(t/k)]1/2 =

[1/(k)1/2] [cos 2(t/k)1/2]/(TTt)1/2



L-1 e-1/ks / s1/2 = [cos2(t/k)1/2] /(TTt)1/2

Entonces haciendo k =1/a.

L-1 e-a/s / s1/2 = cos2(at)1/2 / (TTt)1/2