4.2.2 Utilizando la transformada de Laplace

La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, la transformada de Hilbert, y la transformada de Mellin entre otras. Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Aunque se pueden resolver algún tipo de ED con coeficientes variables, en general se aplica a problemas con coeficientes constantes. Un requisito adicional es el conocimiento de las condiciones iniciales a la misma ED. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ED es una función seccionada.
Cuando se resuelven ED usando la técnica de la transformada, se cambia una ecuación diferencial en un problema algebraico. La metodología consiste en aplicar la transformada a la ED y posteriormente usar las propiedades de la transformada. El problema de ahora consiste en encontrar una función en la variable independiente tenga una cierta expresión como transformada.
Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Sea f una función definida para , la transformada de Laplace de f(t) se define como

cuando tal integral converge
Notas

1. La letra s representa una nueva variable, que para el proceso de integracion se considera constante
2. La transformada de Laplace convierte una funcion en t en una funcion en la variable s
3. Condiciones para la existencia de la transformada de una función:
   1. De orden exponencial
   2. Continua a trozos

Ejemplo1. Como L-1 {s/(s2 + 16)} = cos 4t. tenemos que
L-1 { 2s/[(2s)2 + 16] } = (1/2) cos4t/2 = (1/2)cos2t

Lo cual puede comprobarse directamente.



Ejemplo 2. Si L-1 e-1/s / s1/2 = cos2(t)1/2 /(TTt)1/2 , hallar L-1 e-a/s / s1/2

donde a > 0.

Al sustituir s por ks en la primera expresión

L-1 e-1/ks / (ks)1/2 = (1/k) [cos2(t/k)1/2] / [TT(t/k)]1/2 =

[1/(k)1/2] [cos 2(t/k)1/2]/(TTt)1/2



L-1 e-1/ks / s1/2 = [cos2(t/k)1/2] /(TTt)1/2

Entonces haciendo k =1/a.

L-1 e-a/s / s1/2 = cos2(at)1/2 / (TTt)1/2