Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos más elementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.
Crecimiento Biológico:
Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:
dy / dt = y
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si > 0 entonces tenemos que y!" si t!" , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después de transcurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.
Formulación Matemática:
Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:
dy / dx = F(y) y = Yo para t=0
Donde “Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = y no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = y - y² , y = Yo para t = 0.
Puesto que la ecuación F(y) = y - y² es de variables separables, tenemos
dy / y - y² = dt ó " dy / y ( - y) = t + c
esto es, "1/ [1/y + / - y]dy = t + c
= 1/ [ln y - ln ( - y)] = t + c
Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:
Y = / _ _
1 + [ / / Yo - 1] e
Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t!", vemos, ya que > 0, que:
Ymax = lim Y = /
t!"
Por simple álgebra encontramos:
Ymax = lim Y = Y1(Yo - 2YoY2 + Y1Y2)
t!" Y1² - YoY2
Ejemplo:
Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media de varones adultos con pleno crecimiento.
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Edad
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Altura (pul)
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Nacimiento
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19.4
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1 año
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31.3
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2 años
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34.5
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3 años
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37.2
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4 años
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40.3
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5 años
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43.9
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6 años
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48.1
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7 años
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52.5
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8 años
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56.8
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Sustituyendo estos valores en la ecuación de Ymax se obtiene el valor de 66.9 pul. o 5 pies con 7 pul. como la altura media máxima requerida.
Problemas de Epidemiología:
Un problema importante de la biología y de la medicina trata de la ocurrencia, propagación y control de una enfermedad contagiosa, esto es, una enfermedad que puede transmitirse de un individuo a otro. La ciencia que estudia este problema se llama epidemiología K, y si un porcentaje grande no común de una población adquiere la enfermedad, decimos que hay una epidemia.
Los problemas que contemplan la propagación de una enfermedad pueden ser algo complicados; para ello presentar un modelo matemático sencillo para la propagación de una enfermedad, tenemos que asumir que tenemos una población grande pero finita. Supongamos entonces que nos restringimos a los estudiantes de un colegio o universidad grande quienes permanecen en los predios universitarios por un periodo relativamente largo y que no se tiene acceso a otras comunidades. Supondremos que hay solo dos tipos de estudiantes, unos que tienen la enfermedad contagiosa, llamados infectados, y otros que no tienen la enfermedad, esto es, no infectado, pero que son capaces de adquirirla al primer contacto con un estudiante infectado. Deseamos obtener una formula para el numero de estudiantes infectados en cualquier tiempo, dado que inicialmente hay un numero especificado de estudiantes infectados.
Formulación Matemática:
Supónganse que en cualquier tiempo t hay Ni estudiantes infectados y Nu estudiantes no infectados. Entonces si N es él numero total de estudiantes, asumido constante, tenemos
N = Ni + Nu
La tasa de cambio en él numero de estudiantes infectados esta dada entonces por la derivada dNi / dt. Esta derivada debería depender de alguna manera de Ni y así de Nu en virtud de la formula N = Ni + Nu.
Asumiendo que dNi / dt, como una aproximación, es una función cuadrática de N, tenemos entonces que:
dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni²
Donde Ao, A1, A2 son constantes. Ahora esperaríamos que la tasa de cambio de Ni, esto es, dNi / dt sea cero donde Ni = 0, esto es, no hay estudiantes infectados, y donde Ni = N, esto es, todos los estudiantes estén infectados. Entonces de la ultima formulación hecha tenemos que: Ao = 0 y A1N + A2N² = 0 ó A2 = -A1/NAsí que de: dNi / dt = Ao + A1Ni + A2Ni² se convierte en: dNi / dt = kNi (N - Ni). Donde k = A1/N es una constante. Las condiciones iniciales en t = 0, hay No estudiantes infectados, entonces: Ni = No en T = 0. De todo esto podemos deducir que:
Ni = N _
1 + (N/No - 1)e
A la Química:
Hay muchas aplicaciones de ecuaciones diferenciales a los procesos químicos. Algunas de estas serán indicadas en los siguientes ejemplos.
Ejemplo:
Un tanque esta lleno con 10 galones (abreviación gal) de agua salada en la cual están disueltos 5lb de sal. Si el agua salada esta conteniendo 3lb de sal por gal que entra al tanque a 2 gal por minuto y la mezcla bien agitada sale a la misma tasa.
Sea A el numero de libras de sal en el tanque después de t minutos. Luego dA / dt es la tasa de cambio de esta cantidad de sal en el tiempo y esta dada por:
dA / dt = tasa de cantidad ganada - tasa de cantidad perdida
dA / dt =6 - A/5 A = 5 en t = 0
Ejemplo:
Dos químicos, A y B, reaccionan para formar otro químico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma varia con las cantidades instantáneas de los químicos A y B presentes. La formación requiere 2lb. de A por cada libra de B. Sí 10lb. de A y 20lb. de B están presentes inicialmente, y si 6lb. de C se forman en 20min. ; Encontrar la cantidad del químico C en cualquier tiempo.
Formulación Matemática:
Sea x la cantidad en libras de C formadas en el tiempo t en horas. Luego dx / dt es la tasa de su formación para formar x lb. de C, necesitamos (2x / 3lb.) de A y (x / 3lb.) de B, puesto que se necesita que el químico A sea el doble de B. Por tanto, la cantidad de A presente al tiempo t cuando se forman x lb. de C es 10 - 2x/3, y la cantidad de B en este tiempo es 20 - x/3. Por tanto:
dx / dt = k[(15 - x) (60 - x)] x = 0 en t = 0 ; x = 6 en t = 1/3
solución:Ahora " dx / [(15 - x) (60 - x)] = " 1/45 [(1/15 - x) - (1/60 - x)] dx
60 - x / 15 - x = C e
( 60 - x ) / ( 15 - x ) = 4 e
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